Matematica discreta Esempi

$\log (x - 2) + \log (x + 2) > 2 \log (x - 1)$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'uguaglianza.

$\log (x - 2) + \log (x + 2) = 2 \log (x - 1)$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

Passaggio 2.1.2

Espandi $(x - 2) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log (x (x + 2) - 2 (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

Passaggio 2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

Passaggio 2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Passaggio 2.1.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot 2$ e $- 2 x$ .

$\log (x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Passaggio 2.1.3.1.2

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$\log (x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Passaggio 2.1.3.1.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$\log (x \cdot x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Passaggio 2.1.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log (x^{2} - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Passaggio 2.1.3.2.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\log (x^{2} - 4) = 2 \log (x - 1)$

Passaggio 2.2

Semplifica $2 \log (x - 1)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\log (x^{2} - 4) = \log ({(x - 1)}^{2})$

Passaggio 2.3

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$x^{2} - 4 = {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 2.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica ${(x - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Riscrivi.

$x^{2} - 4 = 0 + 0 + {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 2.4.1.2

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$x^{2} - 4 = (x - 1) (x - 1)$

Passaggio 2.4.1.3

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 4 = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Passaggio 2.4.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 4 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Passaggio 2.4.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 4 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.4.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.4.1.4.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.4.1.4.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.4.1.4.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.4.1.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - x + 1$

Passaggio 2.4.1.4.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - 2 x + 1$

Passaggio 2.4.2

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$x^{2} - 2 x + 1 = x^{2} - 4$

Passaggio 2.4.3

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 2 x + 1 - x^{2} = - 4$

Passaggio 2.4.3.2

Combina i termini opposti in $x^{2} - 2 x + 1 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$- 2 x + 1 + 0 = - 4$

Passaggio 2.4.3.2.2

Somma $- 2 x + 1$ e $0$ .

$- 2 x + 1 = - 4$

Passaggio 2.4.4

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x = - 4 - 1$

Passaggio 2.4.4.2

Sottrai $1$ da $- 4$ .

$- 2 x = - 5$

Passaggio 2.4.5

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 5$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Passaggio 2.4.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Passaggio 2.4.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 2}$

Passaggio 2.4.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{5}{2}$

Passaggio 3

Trova il dominio di $\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta l'argomento in $\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}})$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} > 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 3.2.3

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 3.2.4

Poni $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 3.2.5

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 3.2.6

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = - 2$

$x = 2$

$x = 1$

Passaggio 3.2.7

Consolida le soluzioni.

$x = - 2, 2, 1$

Passaggio 3.2.8

Trova il dominio di $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.1

Imposta il denominatore in $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2.8.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.2.1

Poni $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 3.2.8.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 3.2.8.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 3.2.9

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Passaggio 3.2.10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 3.2.10.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}{{((- 4) - 1)}^{2}} > 0$

Passaggio 3.2.10.1.3

Il lato sinistro di $0.48$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 3.2.10.2

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 3.2.10.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{((0) + 2) ((0) - 2)}{{((0) - 1)}^{2}} > 0$

Passaggio 3.2.10.2.3

Il lato sinistro di $- 4$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 3.2.10.3

Testa un valore sull'intervallo $1 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $1 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1.5$

Passaggio 3.2.10.3.2

Sostituisci $x$ con $1.5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{((1.5) + 2) ((1.5) - 2)}{{((1.5) - 1)}^{2}} > 0$

Passaggio 3.2.10.3.3

Il lato sinistro di $- 7$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 3.2.10.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.10.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 3.2.10.4.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{((4) + 2) ((4) - 2)}{{((4) - 1)}^{2}} > 0$

Passaggio 3.2.10.4.3

Il lato sinistro di $1.\overline{3}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 3.2.10.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Vero

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Vero

Passaggio 3.2.11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 2$ o $x > 2$

Passaggio 3.3

Imposta il denominatore in $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 3.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poni $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 3.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 4

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x > \frac{5}{2}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x > \frac{5}{2}$

Notazione degli intervalli:

$(\frac{5}{2}, \infty)$

Passaggio 6